Для тех, кто не забыл геометрию

[semenkontorovskij]

Столкнулся с интересной задачей в инете.

Как утверждает автор, она была предложена на одной из олимпиад для школьников старших классов и имеет чисто геометрическое (без привлечения высшей математики ) решение.

Рисунок прилагается.

Радиус шара и расстояния плоскостей выреза до центра шара тоже известно. Угол между плоскостями 90 градусов.

Суть задачи: найти объем выреза.

Нужна, хотябы, идея решения. Я пока не нашел такой идеи ))

[beginner]

ну всё... прощай рабочий день 

[semenkontorovskij]

Я уже месяц ломаю голову ))) С использованием интегралов нет проблем. А вот геометрически никак не придумаю ))

[beginner]

так это задачка для 9-10 класса? ведь в школе интегралы изучают. (забыл в каком классе)

[semenkontorovskij]

Двойные и тройные, требуемые для определения объема ограниченного пространства несколькими поверхностями - это 1 или 2 курс. ))) Автор задачи утверждал о наличии геометрического решения....

[Dometer]

Eсли знать соскльпированную площадь сферы, то можно вычислить.  В Анурьеве есть (довольно простые) формулы для объёмов и поверхностей шарового сектора и сегмента.
Вот как сегмент от сегмент вычислить ?

Возможно существует какое-то равновеличинное (по вырезаемому объёма) преобразование. Т.е. доказать что некий вырез при другом h2 и h1=0  имеет тот же объём.

А если не ломать голову, то попытаться проинтегрировать телесный угол по поверхностям [каждого] плоского сектора.

[semenkontorovskij]

В этом то и проблема ))) Пока кроме тройного интеграла я способа вычисления не вижу

[Dometer]

Почему тройного ? Можно брать интерграл по высоте [каждого] плоского сегмента, рассматривая кольцевые секторы на плоском сегменте. Но у каждого плоского кольцевого сектора свой площадный "вес" (коэффициент) сотносительно "следа" на сфере.

А можно приямо на сфере выделить узкие кольцевые участки (эдакие микроскопические усечённые конуса) и интегрировать по известной длине (по окружности) такого кольца. (Тогда интеграл брать по "углу видимости" каждого кольца).

[Николай]

Так значит, объём шарового сегмента Анурьев знает?
Не пойму- решил я задачку, или нет?

[Вячеслав]

Определяете геометрически размер h1 (теорема Пифагора) при котором объем выреза становится равным объему шарового слоя. Значение h1 с обратным знаком дает объем равный 0. Может быть идти таким путем?

[semenkontorovskij]

Так значит, объём шарового сегмента Анурьев знает?
Не пойму- решил я задачку, или нет?

Увы, нет. Вы два раза вычли от двух объемов шаров одну и тиуже часть, и по одному разу по одной части. В итоге осталась искомая часть и по одной соседней части. Увы.

[Goran]

...... для школьников старших классов .....

"Интригалы".....однако!

[semenkontorovskij]

Выводом формулы поделитесь ?

[beginner]

у меня расчёт объёма по формуле не совпадает с объёмом, который Компас выдаёт

[Goran]

Выводом формулы поделитесь ?

Да какой там вывод....четвертинка эллипсоида...
PS: Данная тема только подтверждает, что папы и дедушки заняты высокой материей, а домашнее задания школьников - удел мам и быбушек! 

[Вячеслав]

А ведь верно, это же 1/4 эллипсоида.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%81%D0%BE%D0%B8%D0%B4
Блин, пора идти в школу...

у меня расчёт объёма по формуле не совпадает с объёмом, который Компас выдаёт

не, ну это иногда бывает...

[beginner]

ну какой же это элипсойд?

не, ну это иногда бывает...

вы то сами проверяли?

[semenkontorovskij]

Извините, но это не эллипсоид. Эллипсоид - деформированная сфера. А это СФЕРА. Тут ни одна из кривых эллипсом не является. Т.е. эти три измерения должны быть полуосями эллипса. А тут нет )))

Вот эллипсоид:

[Dometer]

Мне кажется, что здесь какая-то ценная идея есть.
(Только "доказательства" с какой-то нарочитой ссылкой на "приближённость" (но ведь действительно площадь сферы равна площади "обёртывающего цилиндра" !))
http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.99/wilkie1.html

[beginner]

расскажите про обёртывающий цилиндр школьнику который без этих понятий решает эту задачу (со слов ТС)