Для тех, кто не забыл геометрию

[Goran]

можно было и без пафоса

Вы проверяли свою формулу ?

Уважаемый .....пафос и инвектива - две большие разницы.
По поводу формул, замечу во-первых они не мои, во-вторых это не готовое решение, а  только "идея"

....
Нужна, хотябы, идея решения. ....

* * * * *

...... (как арксинус отзовётся ?)
...

арксинус нормально отзовется, это я "накосячил" в картинке (сейчас подправлю)

А угол в каких единицах ? И прокоментируйте формулу , если не сложно.

Угол в радианах....по поводу комментарий .... это же только идея...
Суть в следующем ...
Представленная формула (она остается без изменений) - для вычисление объема "дольки"(в нашем случае четвертинки) ...далее Принцип Кавальери  коэффициент искажения ....
Vдольки / k иск = искомый объем (делим или умножаем в зависимости от К - увеличивающий/уменьшающий)
1.Предлагается найти объем четвертинки шара по формуле при условии d это (d1=d2).
2.Смещенные плоскости приводят к "искажению" и возникает условие - d это уже (d1не равно d2). Находим этот самый коэффициент искажения d1/d2 (или наоборот - далее учесть этот момент).
3. Возводим этот самый Киск в куб, поскольку у нас объем....
4 Ну и перемножив (или поделив) величину исходного объема и этого коэффициента - получим искомое...
Где то так ....
Идея надеюсь понятна?
Формулы не проверял.

[Dometer]

Ура !! Формула работает для четвертинки шара !
... но только для чертвертинки. У прочих пропорций расхождение процентов эдак 20 получается

[beginner]

Имею ВЕРНОЕ решение данной задачи (помогли на одном математическом форуме). Пока выкладывать не буду.
Хочу разобраться как получается эта ДИКАЯ формула.

Увы но это решение получено с помощью двойного интеграла.
Что-то я всё больше и больше начинаю сомневаться о возможности решения этой задачи школьными методами.

[Dometer]

Столкнулся с интересной задачей в инете.
...для школьников старших классов и имеет чисто геометрическое (без привлечения высшей математики ) решение.
Рисунок прилагается.
Радиус шара и расстояния плоскостей выреза до центра шара тоже известно. Угол между плоскостями 90 градусов.
Суть задачи: найти объем выреза....

А может быть расстояния до плоскостей выреза  не просто "известные", но и конуретно заданные ? И вырез не абы-где, но  (самый лёгкий вариант) на грани вписанного в сферу куба ?

...Хочу разобраться как получается эта ДИКАЯ формула....

ДИКИЕ формулы сложно получить "школьными" методами.

[beginner]

ДИКИЕ формулы сложно получить "школьными" методами.

Я даже не представляю как можно упростить эту формулу, чтобы привести её к школьной.

мне кажется, что все-таки эта задача НЕ школьная...

Если желаете, то могу выложить формулу.

[Вячеслав]

а какая "интегральная" формула объема "кусочка шара"? Я так понимаю, что в исходном условии предполагалось оперировать только формулами объема шара и его отдельных частей, но с ними как-то не складывается...

[beginner]

В архиве файл Excel с забитой формулой

ТОЧНОСТЬ РАСЧЁТА МЦХ выкручивайте на максимум... а то компас с объёмом обманывает (ну если будете проверять)

[Dometer]

Расхождение примерно одна милионная (в Pro/E 2001  проверил).

[beginner]

быть может значение числа ПИ в Компасе и Pro/E имеет различное количество знаков после запятой ?

[Ё]

Мне кажется, что здесь какая-то ценная идея есть.
(Только "доказательства" с какой-то нарочитой ссылкой на "приближённость" (но ведь действительно площадь сферы равна площади "обёртывающего цилиндра" !))
http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.99/wilkie1.html

Во даёт питерский самурай: сверкающим мечом своего интеллекта на вершине своей Фудзиямы духа описал решение! А потом вместе со всеми: "Шумел бамбук, сакуры гнулись! Задачка сумрачной была..."
Навскидку, задачка требует занудного скрупулёзного писания формул. Впрочем, в рабочее время надо хоть создавать видимость работы...

[Ё]

 Для упрощения понимания возьмём четвертинку шара. Задача, собственно, сводится к аккуратному подсчёту площади сферы, которая "удаляется" вырезом. Для этого остающуюся площадь четвертинки нужно аккуратно разбить на участки, площадь которых считается по известным формулам сферической тригонометрии: для слоя и для площади треугольника. Ну, наверное, участники олимпиады должны их знать?..
( Вот ведь что интересно: мозг занимает пару проц. от массы тела, а энергии тратит порядка 20% от общего расхода энергии организмом! Т.е., можно греться от человека, решающего задачи ув. С...Конторовского... ) 

[beginner]

Картинки красивые.
Мне не понятно как Вы найдёте ОБЪЁМ ? (на нескольких форумах я уже сталкивался с красивыми рассуждениями про эту задачу, но увы дальше дело не зашло, точнее все эти "рассуждатели" в итоге зашли в тупик)

[Ё]

 Вадим Сергеич, я-то думал, что Вы ВЫВОДИЛИ формулу. Поэтому несколько удивился Вашему вопросу!

На первой картинке в центре - "сферический конус" ( не знаю: как его "обозвать" правильно? ). Таки, его объём равен произведению площади его основания (площади того куска сферы, который удаляется вырезом ) на треть радиуса сферы. ( Воистину: удивителен мир, в котором такие вот зависимости имеют место быть! )
В общем, главная "заморочка" заключается в определении тех углов ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СФЕРИЧЕСКИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ, которые имеют вершины в точке пересечения сторон выкуса - вторая картинка. ( Два других угла : один прямой, определение величины другого очевидно. )

[Dometer]

Ё !
У вас только картинка "обьём.gif" актуальна. Остальные рассечения-построения не нужны.
Ибо главное - найти ПЛОЩАДЬ сферической поверхности отсекаемого куска. По этой поверхности находитя объём соответсвующего [этой поверхности] шарового [некругового!] сектора. А обём двух конусов с полукруглым основанием находятся то же элементарно (но то же надо вычислить площадь каждого из оснований)(а высоты известны).

В процессе обсуждения мне померещилась очередь готовых применить тройные интегралы. Поскоку достаточно интегрирования по одной переменной (если считать по площади проекции на обёртывающий цилиндр - то есть практически сумма длин дуг на dh), не хотелось никого лишать интересного процесса. (Но от скрупулёзных математических выкладок может башка заболеть. Пока склонен поберечесься.)

[Ё]

 По первой части - м.б. Но не все ж - Dometer-ы!

А по второй части: изначально предлагалось обойтись без интегралов. Да и для интегрирования нужно получить уравнение для проекции. А проекция-то - забавная: вначале близка к окружности, а стремится к ПРЯМОУГОЛЬНИКУ! ( Ну, если перемещать место сечения от периферии к центру сферы. )

[Goran]

...... изначально предлагалось обойтись без интегралов......

Вот вариант на рассмотрение
1. Подобие объемов по принципу Кавальери.
2. Прогнал пару вариантов - погрешность в сравнении и "дикой" формулой около 2%. Где может быть косяк - не представляю. Компас строит цилиндрическое копыто с объемом уже отличающимся от рассчитанного по формуле.
3. Если что-то заинтересовало - поясню

[beginner]

Спасибо. Будет над чем помозговать еще недельку

[Ё]

 Правоту или неправоту можно доказать либо интегрированием ПЛОЩАДЕЙ по углу, либо нужно показать: что (S1+S2) ( соответствует S1 у Goran-а ) и S2 ЗАВИСЯТ ОТ УГЛА ОДИНАКОВО. Если - ОДИНАКОВО, то тогда можно говорить о подобии объёмов, ограниченных углом "а".

Кажется, так?

[Goran]

Правоту или неправоту можно доказать либо интегрированием ПЛОЩАДЕЙ по углу, либо нужно показать: что (S1+S2) ( соответствует S1 у Goran-а ) и S2 ЗАВИСЯТ ОТ УГЛА ОДИНАКОВО. Если - ОДИНАКОВО, то тогда можно говорить о подобии объёмов, ограниченных углом "а".

Кажется, так?

Площадь треугольника конуса S1=R*R*tga/2. Площадь сектора S2=2*R*R*a. Разделив - получим tga/a.
Остается открытым вопрос - сектор в данном случае криволинейный и без интегрирования никак ....но и тогда в итоге будет tgaf(a). Причем угол (a) постоянен.
Где то так... 

[Starik]

Уважаемый друзья. Давайте в темах про геометрию, начерталку и пр... будем обсуждать решения предложенных задач. Всякие прочие рассуждения, не имеющих касательства к решениям или пояснениям условий будем делать в другом месте. Для этого я их выделил в отдельную тему.