Задача по начертательной геометрии.

[feron]

Доброго дня!

Есть 3-х угольная пирамида заданная координатами(на любой выбор) нужно вписать в него 3 сферы так что бы сумма их объемов была наивысшей.
Какой логикой нужно руководствоваться ?

[Петрович-47]

Чисто умозрительно:
Первая сфера - касательная ко всем граням (получается в центре)
Четыре оставшихся не сложно и выбрать по наибольшему объёму

[beginner]

Доброго дня!
...нужно вписать в него 3 сферы ...

Доброго

Каким образом производится вписывание сфер ?
Какая сфера (для данной задачи) является вписанной?

[Alekzander]

Добра всем!

Интересная задачка. Может я ошибаюсь, но условия надо уточнить.
Должны ли все сферы касаться граней тетраэдра?

[Петрович-47]

Может я ошибаюсь, но кмк для достижения максимального объёма необходимо достигнуть граничных условий, а в данном случае граница это грани тетраэдра...

[feron]

Первая сфера - касательная ко всем граням (получается в центре)
Четыре оставшихся не сложно и выбрать по наибольшему объёму

Да, верно.
В "лоб" решить не получится - нужно развить некоторую логику.
Формулы различные конечно же нельзя использовать только инструментами: циркуль/карандаш/линейки/угольник.

Должны ли все сферы касаться граней тетраэдра?

Там так не получится - все сферы будут касаться граней пирамиды.

Для начала определиться с пирамидой пусть будет у основании равносторонний треугольник - 60мм., высота пирамиды 110 мм. и три грани боковые равные по длине.

[Alekzander]

То есть нужна не математическая модель, при которой я подставляю координаты вершин тетраэдра
а система выдает координаты центров сфер и их радиусы? Для заданного условия?

Нужно как раньше в задачках по начерталке определить центр первой сферы, затем достроить вторую и третью?

Коли так - нужно для проекций основания и одной из боковых граней построить биссектрису.
Пересечение биссектрисы и высоты тетраэдра даст центр наибольшей сферы
Ну раз в основании равносторонний треугольник

Затем надстроить еще две сферы выше 

[designer811]

проходя в институте начертательную геометрию всегда повторял первые три слога... не особо на неё похоже больше речь наверно о стереометрии.
Граничные условия три плоскости призЬмы и плоскость образуемая биссектрисами противолежащими плоскостями. видимо решая просто в 2D будет ответ и в 3D если равнобедренная пирамида, тогда получается начерталка....
 

[beginner]

Коли так - нужно для проекций основания и одной из боковых граней построить биссектрису.
Пересечение биссектрисы и высоты тетраэдра даст центр наибольшей сферы

В частном случае, как этом, "даст".
В общем случае так не получится...

Задачка то не очень сложная... Хотя... тут могут быть (наверное) и подводные камни... Интересно. Нужно будет решить.

Вот помню в студенческие годы на олимпиаде по "начерталке" была такая задача: На плоскости лежат 3 сферы, касающиеся друг друга (радиусы заданы). Нужно было построить четвёртую сферу (тоже лежащую на плоскости), касающуюся всех остальных.

[YNA]

Если пирамида правильная, то на её основании строим окружность, касательную к трём кривым. Так получаем конус касания. (рис. 1)
Теперь на чертеже можно разместить три касательных окружности и их диаметры будут равны диаметрам сфер. (Рис. 2)

[Alekzander]

В частном случае, как этом, "даст".
В общем случае так не получится...

Ну какие вводные дали в посте нумер 5 такими и оперировал
Для неправильного тетраэдра нужно задать конкретные координаты вершин, чтобы можно было заняться построениями

[СВ]

 А где математическо-геометрическое доказательство, что эти сферы имеют МАХ объём?
И ещё: при разных размерах пирамид (высотах и основаниях) - разные схемы расположения сфер. Причём должна быть "переходная" схема - от 3-х сфер по горизонтали к 3-м сферам по вертикали.

[beginner]

Это "начерталка". Тут только построениями доказывается...

[СВ]

 Это на нашем уровне. А у настоящих математиков всё по-другому.

[beginner]

feron, эта задача "для прогрева мозгов" здешних инженеров или есть конкретная необходимость помочь какому-то студенту?

[YNA]

Для неправильного тетраэдра нужно задать конкретные координаты вершин, чтобы можно было заняться построениями

Вот попробовал для неправильного. Вроде всё получилось. Главное, видимо, построить конус касания. 

[beginner]

Возможны такие варианты координат вершин, что сферы не будут одна на другой, а будут по вершинам тетрайдера распределены. Так что нужно будет несколько конусов создавать.

[Alekzander]

Вот попробовал для неправильного. Вроде всё получилось. Главное, видимо, построить конус касания. 

Интересно, а этот конус касания как выбирается?
Ну в смысле к какой из вершин тетраэдра?
Результат же будет разный?

И в основании правильный треугольник вроде?

[СВ]

А с НЕвысокими пирамидами как?

[Alekzander]

В плане создания математической модели задачка интересная.
Пока даже не знаю как подступиться