Прочность при изгибе: как влияют подкосы?

[KillJoy]

Случай 1: платформа, к которой прикладывается нагрузка в поперечной плоскости (телега обыкновенная). Пока в раме этой платформы есть только поперечные и продольные балки, понятно, что, скажем, в создании продольной жесткости участвуют только продольные балки (пример: положить лестницу на два стула и посередине сесть – количество перекладин никак не сказывается на прогибе). При появлении в раме косых балок увеличивается и продольная, и поперечная жесткость, но как именно – вопрос.

Случай 2: заделанная балка с нагрузкой на конце. При добавлении под балку подкоса прогиб конца балки уменьшится, но снова неясно, как это рассчитывается.

Насколько правильно предположение, что косые балки можно добавить к продольным, взяв проекцию половины их длины?
Прошу порекомендовать литературу по этой теме.

[LoserCrane]

Надыбать какой-нибудь solidworks simulation (или какой-нить подобный кадик со своим встроенным решателем) и посчитать в нем балочными конечными элементами.

[Dometer]

1. Платформа.
Если рама из профиля открытого сечения, то практически можно считать, что на жёсткость-прочность косые элементы не влияют (у них нет жёсткой заделки - основные балки в месте прикрепления раскосов будут скручиваться, но изгибный момент на подкос не передадут).
Если профили трубчатого сечения, то надо считать (но на счёт прочнсти хороших добавлений не предвидится, ибо работала себе [основная] балка на изгиб, а тут её ещё какой-то раскос скручивать начал).

2. Балка с подкосом.
В первм приближении считается как та же балка, но с дополнительной опорой в месте опирания на подкос.
Во втором приближении можно учесть изгибный момент, уходящий в подкос (если подкос сопоставимой жёсткости на изгиб). И плюс растягивающие усилия в балке и сжимающие в подкосе.

[KillJoy]

То есть в случае с платформой дополнительные продольные балки при одинаковой длине проекции дадут больше жесткости, чем косые?

Все-таки хотелось бы литературу. С выводом формул, с примерами...

[Dometer]

Если платформа зашивается сверху [-снизу] приварным стальным настилом, то раскосы имеют технологическое назначение - выставить прямые углы перед приваркой настила. Настил после приварки (если его в процессе эксплоатации не проминают вхлам, с необходимостью частой смены) способен удерживать прямоугольную форму платформы не хуже любых расхосов. Поэтому технологические раскосы делают абы-из-чего, и ставят - как у вас на картике - абы где. Для того, чтобы раскосы работали на "голой" (незашитой) раме, они должны взаимно соединяться.
В таком случае (когда раскосы соединяются в узлах) , балки взаимно удерживают  друг-друга от скручивания, и добавляют раме какую-то жёсткость.
В "литературе" это рассматривается в разделах, посвящённых статически-неопредилимым конструкциям. Что-то где-то видел с названием "рассчёт рам". Но если в "учебнике сопромата" примеры рассчётов ограничиваются, как правило, системами на растяжение-сжатия, то в "специализированных изданиях" любят всё закошмаривать. Ведь это очень нудно - пытаться понять рассчёт какой-то сложной конструкции, которая существенно не такая, как твоя. (Самый жуткий вариант - когда ещй всё в к-нить древней системе единиц).

Когда на столе компьютер, не хочется советовать кому-то (кто тебе ничего плохого не сделал) "ручной обсчёт" по Бубнову-Галёркину. (LoserCrane прав - разживитесь чем-нибудь трофейным).

[Zima]

В вашем вопросе есть некоторое несоответствие.
Вас интересует прочнисть или жесткость и прогиб?
Если рассматривать прочность то все проще.
Правда надо определиться с расчетной схемой, но если вашу прямоугольную раму рассматривать как балку на двух шарнирных опорах, то в сечении максимального момента (в середине пролета) подкосы ни на что не влияют.
В случае с консолью опять же надо определиться с расчетной схемой и если подкос считать шарнирно закрепленным то все считается. А на глаз при таких пропорциях , слабое место будет в горизонтальном элементе в сечении около подкоса и надо посчитать простую консоль заделанную в сечении крепления подкоса.
В любом случае, если вы не собираетесь использоват программы (МКЭ), надо принимать расчетную схему упрощающую расчет. Определиться с заделками и шарнирами.

[KillJoy]

Интересует и то, и другое. Момент инерции сечения в расчете прочности на изгиб не участвует, но на прогиб влияет, поэтому и хочется знать, как учитывать такие балки, не слишком усложняя расчет.
МКЭ-расчет не подходит, потому что конструкции простые и надо показать ход расчета (проще говоря, добиться его проверяемости без инструментов сложнее калькулятора).

[Dometer]

Момент инерции сечения в расчете прочности на изгиб не участвует, но на прогиб влияет...

А что участвует ? Момент сопротивления Wx ?
Для начала, конечно, надо освоить фундаментальный метод сопромата [вычленяьть элемент, и заменять его набором усилий] для решения статически-неопределимых задач. Тогда вы задвините пользование этими Wx на самые границы вычислений.
В древности напридумано много хитрых методов для "ручного" обсчёта статически неопределимых конструкций (например ранее упомянутый Бубунов-Галёркин), но эти методы на 80% - способ сократить ВЫЧИСЛЕНИЯ [в столбик !], чем прояснить ход решения.  Поэтому не рекомендую терять время на изучения этих хитрых метод, а решать систему уравнения (находить набор занчений неизвестных с учётом их взаимозаависимостей) напрямую.
По поводу "калькулятора", я так понимаю-надеюсь, что вы утрируете, и вас вполне устроит электронная таблица.

Если вы не доверяете МКЭ (проверять хотите), то сделайте для рассчёта в МКЭ несколько вариантов модели (хотя-бы 2). Чтобы один из вариантов был без "излишеств" и легко считался-проверялся вручную. А другой вариант - осложнённый всякими подкосами. Тут главное проверить, что оба варианта закреплены и нагружены одинанково (главные ошибки при расчётах в МКЭ - неправильные закрепления и приложения нагрузов).

[Николай]

Да, действительно, интересно, во сколько раз прогиб с будет больше прогиба с1?. Неужели в 8 раз?( Если опора будет посередине)

[Вячеслав Никонов]

Попробуйте рассчитать в APM FEM.

[Николай]

Из пушки по воробьям...

[Dometer]

Да, действительно, интересно, во сколько раз прогиб с будет больше прогиба с1?. Неужели в 8 раз?( Если опора будет посередине)

Откуда 8? Меньше. Ведь в месте подпора нет заделки и имеет место поворот сечения.
Если убрать заделку - то в 4 раза. Таким образом - если вернуть заделку - то где-то между 4 и 8 (предположим, что 6).

[Dometer]

Из пушки по воробьям...

Да ладно... Будто для рассчёта в МКЭ нужны какие-то расходники (типа снаряд-заряд). Простые расчёты делаются достаточно быстро. Да и расчёту "по формулам" не мешает проверка.

[Николай]

МКЭ ещё купить надо...
А если оставить и заделку и подпор- то в 8 раз?
Ну, если у кого есть МКЭ и немного времени, то не соблаговолит ли тот господин проверить?

[Dometer]

В Анурьеве в разделе схем балок имеется "Схема 16". Она вполне соответствует подпору полкосом (если пренебречь изгибной жёсткостью самого подкоса или при шарнирном сочленении).
Для подпора "посередине" (l=L/2, a=L/2) выражение для прогиба
=(P*a^2*L*(3/2+4/2))/(12*E*Ix)  преобразуется в
v=(P*L^2*L*(3/2+4/2))/(12*E*Ix)/4 =(P*L^3*7))/(24*E*Ix)/4
=7*P*L^3/(96*E*Ix)
а для консольной балки
v=P*L^3/(3*E*Ix)
(1/3)/(7/96) = 4,5714

[Dometer]

А вот рассчёт для двутавра No20 (L=2 м) при нагрузе 20 kN

[Dometer]

Сопроматный рассчёт даёт для консольной балки прогиб
P=20000
E=200000
L=2000
Ix=1,8650983e+07
v=P*L^3/(3*E*Ix) = 14,3
Сопроматные формулы для балок учитывают только изгиб. Деформаций сдвига и растяжение-сжатие подкоса они не учитывают (можно добавить слагаемые, но формула с каждым слагаемым становится всё страшнее и хуже запоминаются).

[Николай]

Картинки по МКЭ хороши. Не могли бы вы интерпретировать их в значения прогиба, а то цифирьки слишком мелкие, не разобрать.

[Dometer]

Цифры не мелкие. Это в броузере картинка показана уменьшенной. Картинку надо открыть (просмотреть), либо скачать себе. Значения величин - указаны (миллиметры, и мегапаскали).

[Николай]

Обленился, наверное, я...
Получились цифры: уменьшение прогиба в 3,6 и в 5 раз.
Да... Пора начать заниматься МКЭ.