По вопросу построения эллипсов

[ТрындецЪ]

Первое что приходит в голову, то что у Вас и у YNA, центр эллипса ни как не определён. Ведь при построении в Компасе по трём точкам эллипса. Первое что спрашивает Компас это ввести центр, а затем уже координаты 3 точек.

У Вас два взаимоисключающих утверждения в двух соседних предложениях.
Центр у меня определён, хотя бы по  той причине, что КОМПАС попросил это сделать при построении эллипса по трем точкам.Более того, я его зафиксировал во фрагменте, поэтому его координаты всегда постоянны.

[Студент 2015]

У Вас два взаимоисключающих утверждения в двух соседних предложениях.
Центр у меня определён, хотя бы по  той причине, что КОМПАС попросил это сделать при построении эллипса по трем точкам.Более того, я его зафиксировал во фрагменте, поэтому его координаты всегда постоянны.

Мы с Вами говорим на разных языках.
Начнём с начала. Что у нас есть два отрезка с определенными точками 1,2,3. И как они расположены относительно осей х и у. Но мы не знаем где центр осей, т.е. какое расстояние "а" (полуось) на первой картинке. Согласны?
Далее выбираем окружность по 3 точкам. Вводим точку 1, ничего пока нет, наводим на точку 2 и нажимаем ввод. И теперь медленно отводим курсор к точке 3. Что появилось? Фантом окружности и её центр. Плавно перемещаемся к точке 3, центр окружности также плавно переезжает и меняется радиус окружности.
Почему так происходит? Объяснение на 2 картинке. Окружность это частный случай эллипса. Согласны? Но у окружности заранее принято, что её эксцентриситет равен нулю. У эллипса он не определён и меньше 1
Поэтому построить эллипс по 3 точкам не получится, пока не определимся, где её центр. Правильно?
Площадь сегмента, это уже производная величина от определённого эллипса с известным эксцентриситетом, фокусами и осями. Согласны? Если Вы смогли вывести формулу определяющую по площади сегмента, главные параметры эллипса. То это здорово!!! Но пока этой формулы нет.
Далее опять к 1 картинке. Я чисто на глаз сдвинул центр 2 эллипса от начала  координат вправо на 2 мм.
Получил эллипс 2. Затем ещё раз вправо на 7 мм, эллипс 3. Затем построил окружность. Как меняется площадь сегмента видно из таблицы. Т.е. от окружности влево по оси х и до бесконечности мы будем получать эллипсы. Согласны?
Можно,наверно,вывести какую-то зависимость изменения площади нашего сектора от изменения полуоси
эллипса "а" и построить этот эллипс. Но это всё будет опять приближенно и дейстовать только в нашем случае.

[ТрындецЪ]

Начнём с начала. Что у нас есть два отрезка с определенными точками 1,2,3. И как они расположены относительно осей х и у. Но мы не знаем где центр осей, т.е. какое расстояние "а" (полуось) на первой картинке. Согласны?

Нет. Я уже писал, что "растягивал" эллипс мышью за крайнюю правую точку, тем самым я задавал размер большей полуоси эллипса. Малая полуось подстраивалась автоматически.
И вот растягивал я эллипс и замерял площадь сектора. И чем ближе я приближался к значению площади 133,(3) тем непредсказуемее становились измерения (могли быть как больше 133,(3), так и меньше).

[Студент 2015]

Извиняюсь.
Допустил одну ошибку в сообщении. Центр эллипса можно двигать и вправо от окружности по оси х. Вспомнил ответ bull. На картинке для примера эллипс 5.(данные по площади есть в таблице) При этом полуось "а" изменит ориентацию на 90 градусов. И двигать до момента пока не станет равным 2а = 40 мм. в нашем примере, или (а = 20) мм. Серенький эллипс без обозначений.
Ещё на этой картинке изменил количество знаков в запятой для размеров.

[Aleksei]

Нет. Я уже писал, что "растягивал" эллипс мышью за крайнюю правую точку, тем самым я задавал размер большей полуоси эллипса. Малая полуось подстраивалась автоматически.
И вот растягивал я эллипс и замерял площадь сектора. И чем ближе я приближался к значению площади 133,(3) тем непредсказуемее становились измерения (могли быть как больше 133,(3), так и меньше).

Я думаю, в этой задаче с "бесконечно длинным" эллипсом  просто проявляется потеря точности расчетов при приближении к пределу.   
Для того, чтобы "точно" найти минимальную площадь,  нужно устремить к бесконечности большую полуось эллипса, что вы и делаете. Рано или поздно наступает момент, когда дадут о себе знать ограничения, связанные с представлением больших и малых чисел при расчетах.
Вот параметры эллипса, выложенного в вашем примере:
a = 318265.2738
b = 2522.9754
Посчитайте его эксцентриситет: e = 0,999968579. Т.е. он отличается от параболы только в пятом знаке после запятой. Это при том, что размеры его полуосей я взял с точностью до четвертого знака, т.е. довольно грубо.
Далее, рассчитаем площадь.  Аналитическая формула для половинки данного сегмента:
S = (1/2)*(a*b*arccos(x0/a) - x0*y0)
Здесь x0, y0 - координаты верхней точки эллипса.
Для нашего случая:
x0 = 318255.2738
y0 = 20
Заметьте, что перед арккосинусом получается очень большое число, а сам арккосинус очень близок к нулю. И чем дальше мы будем растягивать эллипс, тем больше это будет проявляться.   
Расчет в Excel дает площадь 133,181610144209. Т.е. тоже "меньше минимального". Но если взять значения полуосей до 10 знаков и снова рассчитать, получается уже 133,381378946360. Теперь мы уже на "правильной" стороне. Видите, насколько все "на тоненького".
При этом учтем, что полуоси эллипса при предложенном методе построения выражаются иррациональными числами и в любом случае при расчетах округляются.
В прицепе обыкновенный непараметрический эллипс с "нормальными" параметрами. Аналитический расчет площади совпадает с компасовским до 8 знака.

[Aleksei]

НО!!! Любой компьютер имеет ограниченные возможности. И САПР создаются с учетом этих возможностей. И расчет геометрии точек профиля не может быть бесконечно малым.

Конечно, это так. Вы другими словами согласились с тем, что я писал выше: САПР, при наличии аналитической зависимости, оперирует в расчетах теоретически правильной кривой (а не как-то сглаженной или приближенной), а результаты расчетов с ней выдает с учетом погрешностей представления чисел в компьютере.
Только пока все равно почему-то считаете, что "простые" и "сложные" примитивы обрабатываются по-разному.

Если же говорить о простых примитивах, то там каких-то суперсложных расчетов расположения точки не нужно. Если отрезок, то любая точка будет между двумя конечными, если окружность - то опять-таки любая точка будет на одном расстоянии от центра. Компьютеру при этом не надо дополнительно учитывать угловое положение, два фокуса, какие-то интегральные исчисления для расчета площади под кривой.

Ваше определение "если отрезок - то любая точка будет между двумя конечными" ничего не означает для геометрического ядра. Все равно нужна аналитическая зависимость, чтобы либо вывести на экран этот отрезок (иначе говоря, определить, какой пиксел зажигать, а какой нет), либо рассчитать, например, точку его пересечения с другим.  Простая эта зависимость или сложная - это может повлиять на быстродействие, но суть одна.
Насчет точности расчетов площадей, периметров, точек пересечения - здесь ситуация сильно зависит от конкретной задачи, что с чем пересекается. Расчет может идти не аналитически, а численными методами. То есть системы уравнений кривых или поверхностей решаются "подбором", с помощью итераций - огромный кусок математики посвящен вопросам, как обеспечить сходимость и точность этих методов. 

[СВ]

  Ну, а кто-нибудь знает, как именно - не теоретически, а реально - Компас (и др. КАДы) работает?
(Кстати, про довод о расстоянии до точки (в пользу одновременно двух взглядов): точку система может рассчитать точно, а линию строить условно приблизительно. Теоретически, разумеется - я тоже не знаю о работе Компаса.)

[Elaeagnus]

  Ну, а кто-нибудь знает, как именно - не теоретически, а реально - Компас (и др. КАДы) работает?...

Они точно знают.
Телефон и "мыло" в правом верхнем углу страницы.

[СВ]

Они точно знают.
...

Это и козе и ежу понятно. Речь (о знающих) - о тех, кто много рассуждал о КАДовских мозгах, ну и о тех, кто их слушал и скромно ухмылялся, т.е. о людях нашего форума.

[Вячеслав Никонов]

Если кому-то интересно, на изикаде много статей про эллипсы и овалы от Виктора Чебыкина:
http://isicad.ru/ru/articles.php?article_num=19289
http://isicad.ru/ru/articles.php?article_num=19240
http://isicad.ru/ru/articles.php?article_num=18755
http://isicad.ru/ru/articles.php?article_num=18722

http://isicad.ru/ru/authors.php?author=Виктор%20Чебыкин

[YNA]

На точность расчёта ещё влияет вид кривой, её кривизна.
Вот например показан эллипс, малая ось которого совпадает с точкой. При таком наклоне становится очевидным что площадь стремится к 100 мм, а кусочек эллипса вырождается в отрезок. Обратите внимание на точность вычислений, мне кажется она на много выше, хотя сам эллипс не такой уж и большой (на 2-м рисунке). Видимо самой программе легче такое считать.

Но тут возникает другой соблазн - разместить точку касания где то по середине между осями.
Тут уже очевидное становится невероятным. К чему будет стремится такая площадь? Ведь явно не 100 или 133. а к какому то определённому значению, интуитивно трудно понятному. 

[Студент 2015]

К чему будет стремится такая площадь? Ведь явно не 100 или 133. а к какому то определённому значению, интуитивно трудно понятному. 

В Вашем примере она будет стремиться к 100. Вот треугольник и его площадь.